| Ιστορικά |
| Το πολυώνυμο Alexander ανακαλύφθηκε από τον James Waddell Alexander II το 1928 σαν μια γενίκευση των γραμμικών χρωματικών πειραμάτων (π.χ τριχρωματισιμότητα). Σχεδιασμένο για να χρησιμοποιεί πίνακες, η αρχική του μορφή διαφέρει από τις πιο πρόσφατες πολυωνυμικές αναλλοίωτες που ορίζονται μέσω σχέσεων skein. Τη δεκαετία του 1960 όμως ο John Conway χρησιμοποίησε μια σχέση skein (γνωστή στον Alexander), για να ορίσει το πολυώνυμο Alexander, γεφυρώνοντας έτσι το χάσμα μεταξύ του πολυωνύμου Alexander και των ευρέως διαδεδομένων μεταγενέστερων πολυωνυμικών αναλλοίωτων. |
| Κανόνες Ορισμού |
| Το πρώτο βήμα για να υπολογίσουμε το πολυώνυμο Alexander ενός κόμβου, είναι να σχεδιάσουμε ένα προσανατολισμένο διάγραμμα του κόμβου, όπως παρακάτω. Ένας κόμβος με c διασταυρώσεις θα χωρίσει την προβολή σε c+2 περιοχές τις οποίες και ονοματίζουμε. Στις περιοχές αυτές περιλαμβάνεται και η εξωτερική περιοχή του κόμβου. Τώρα περνάμε στους υπολογισμούς. |
|
|
| Υπολογισμοί |
| Το κυριότερο μέρος του πολυωνύμου Alexander είναι ο πίνακας. Ο πίνακας γράφεται έχοντας στις σειρές του τους αριθμούς διασταυρώσεων και στις στήλες του τις περιοχές με τις ονομασίες που τους έχουμε δώσει. Οι τιμές των στοιχείων σε αυτόν τον πίνακα στη σειρά της διασταύρωσης γράφονται ως εξής. |
|
| Έπειτα, αφαιρούμε οποιεσδήποτε δυο στήλες που έχουν περιοχές που μοιράζονται το ίδιο τόξο, αφήνοντας έτσι έναν c x c πίνακα. Το προκαταρτικό πολυώνυμο Alexander είναι η ορίζουσα του πίνακα. Για να πάρουμε το τελικό πολυώνυμο Alexander, το t βγαίνει σαν παράγοντας έξω και αφαιρείται όσο το δυνατό περισσότερες φορές. |
| Συμπέρασμα |
| Δυστυχώς το πολυώνυμο Alexander δεν είναι η ιδανική πολυωνυμική αναλλοίωτη. Για παράδειγμα υπάρχουν πολλοί μη τετριμμένοι κόμβοι με πολυώνυμο Alexander = 1 = το πολυώνυμο Alexander του τετριμμένου. Επίσης το πολυώνυμο Alexander δεν ξεχωρίζει κόμβους από την κατοπτρική τους εικόνα. Ξεχωρίζει όμως μεταξύ διαφορετικών ισοτοπικών κλάσεων με λιγότερες των 9 διασταυρώσεων. Επειδή ήταν η πρώτη πολυωνυμική αναλλοίωτη, το πολυώνυμο Alexander είχε τα μειονεκτήματά του αλλά του αξίζει μια μελέτη. |
| Προηγούμενη Ενότητα | Επόμενη Ενότητα |