|
|
|
Μια άλλη κατηγορία αναλλοίωτων κόμβων είναι οι πολυωνυμικές αναλλοίωτες.
|
|
|
|
|
|
Η ιδανική πολυωνυμική αναλλοίωτη κόμβων θα απέδιδε ένα διαφορετικό πολυώνυμο για κάθε ισοτοπική κλάση. Οι περισσότερες πολυωνυμικές αναλλοίωτες είναι βασισμένες σε σχέσεις skein. Εξαίρεση αποτελεί το πολυώνυμο Alexander το οποίο είχε αρχικά οριστεί μέσω πινάκων. Όμως ένας άλλος μαθηματικός, ο John H. Conway βρήκε έναν τρόπο για να υπολογίζει το πολυώνυμο Alexander με σχέσεις skein.
|
|
|
|
|
|
Το πολυώνυμο Alexander, το οποίο πήρε το όνομά του από το δημιουργό του James Waddell Alexander II, είναι η παλαιότερη πολυωνυμική αναλλοίωτη. Το πολυώνυμο Alexander βασίστηκε στο γεγονός πως δύο διαφορετικοί κόμβοι μπορούν να διακριθούν μέσω γραμμικών χρωματικών πειραμάτων (π.χ τριχρωματισιμότητα). Δυστυχώς δεν μπορούσε έτσι να διακρίνει έναν κόμβο από την κατοπτρική του εικόνα και έτσι υπέθετε πως όλοι οι κόμβοι είναι αμφίχειροι. Το πολυώνυμο Alexander δημοσιεύθηκε το 1928 και παρέμεινε για περισσότερες από 5 δεκαετίες η μόνη πολυωνυμική αναλλοίωτη κόμβων.
|
|
|
|
|
|
Το 1984 ο Vaughan F. R. Jones κατασκεύασε μια νέα πολυωνυμική αναλλοίωτη, το πολυώνυμο Jones. Το καταπληκτικό ήταν πως "ανακάλυψε" αυτό το πολυώνυμο όταν πρόσεξε πως κάποιες εξισώσεις στη Θεωρία Κόμβων που αντιστοιχούν στην κίνηση RIII ήταν παρόμοιες με εξισώσεις στη Θεωρία Αλγεβρικών Τελεστών, οι οποίες σχετίζονταν με τη Στατιστική Μηχανική. Το πολυώνυμο Jones ήταν η πρώτη αναλλοίωτη που έκανε χρήση της θεωρίας των "κοτσίδων". Για αυτή του την ανακάλυψη, απονεμήθει στον Jones το βραβείο Fields. Η ανακάλυψη του πολυωνύμου Jones ώθησε σε νέα θεαματικά αποτελέσματα στη Θεωρία Κόμβων και στην Τοπολογία Χαμηλών Διαστάσεων.
|
|
|
|
|
|
Το 1985 ο L. H. Kauffman ανακάλυψε το δικό του πολυώνυμο το οποίο είναι συναφές με το πολυώνυμο Jones, το πολυώνυμο bracket. Το πολυώνυμο bracket δεν είναι αναλλοίωτη πλήρους ισοτοπίας αλλά είναι αναλλοίωτη κανονικής ισοτοπίας, δηλαδή αναλλοίωτη ως προς τις κινήσεις RΙI και RIII. Ο Kauffman όμως βρήκε μια μαθηματική έκφραση την οποία πολλαπλασιάζοντάς την με το πολυώνυμο bracket ενός κόμβου έπαιρνε το πολυώνυμο Jones του κόμβου.
|
|
|
|
|
|
Η ανακάλυψη του πολυωνύμου Jones ενθουσίασε τη μαθηματική κοινότητα σε βαθμό που κατασκευάζονταν νέες πολυωνυμικές αναλλοίωτες πολύ γρήγορα. Στόχος της εποχής ήταν να βρουν μια πολυωνυμική αναλλοίωτη η οποία θα γενίκευε το πολυώνυμο Alexander και το πολυώνυμο Jones. Το πολυώνυμο HOMFLYPT ήταν μια επιτυχημένη λύση η οποία δημοσιεύθηκε ταυτόχρονα από διαφορετικές ομάδες μαθηματικών. Η εργασία δημοσιεύθηκε υπό τα ονόματα των Hoste, Ocneanu, Millett, Freyd, Lickorish, Yetter, Przytycki και Traczyk. Το πολυώνυμο HOMFLYPT ικανοποιεί σχέσεις skein όπως και τo πολυώνυμo Jones και το πολυώνυμο Alexander, όμως το καινούργιο πολυώνυμο χρησιμοποιεί δυο μεταβλητές σε αντίθεση με το πολυώνυμο Alexander και το πολυώνυμο Jones, και για κατάλληλες τιμές εξιδεικεύεται στο καθένα από αυτά.
|
|
|
|
|