| Είναι πάρα πολύ δύσκολο να αποφανθούμε εάν δυο δεδομένοι κόμβοι είναι ισοτοπικοί ή όχι. Γι' αυτό και το πρόβλημα της ταξινόμησης των κόμβων είναι ακόμα ένα ανοικτό πρόβλημα των μαθηματικών. Στα δύο παρακάτω παραδείγματα οι κόμβοι που απεικονίζονται είναι ισοτοπικοί με τον τετριμμένο (δείξτε το αυτό χρησιμοποιώντας κινήσεις Reidemeister). |
|
|
| Έτσι, προσπαθούμε να κατασκευάσουμε αναλλοίωτες, δηλαδή συναρτήσεις από κλάσεις ισοτοπίας κόμβων σε κάποιο σύνολο τιμών (π.χ πολυώνυμα, αριθμοί κ.λ.π.) Μια αναλλοίωτη είναι ιδιότητα της ισοτοπικής κλάσης ενός κόμβου και όχι ενός διαγράμματός του. Εξ ορισμού μια αναλλοίωτη κόμβων παίρνει την ίδια τιμή σε ισοτοπικούς κόμβους. Ισοδύναμα, αν μια αναλλοίωτη πάρει διαφορετικές τιμές σε δύο κόμβους, τότε αυτοί οι κόμβοι είναι μη ισοτοπικοί και άρα διαφορετικοί μεταξύ τους. Αυτή ακριβώς η ιδιότητα των αναλλοίωτων βοηθάει στην ταξινόμηση των κόμβων. |
Κλασσικές Αναλλοίωτες Κόμβων
| Υπάρχουν αρκετές κλασσικές αναλλοίωτες κόμβων, αλλά εμείς θα ασχοληθούμε μόνο με μερικές. Αυτές είναι η τριχρωματισιμότητα, ο αριθμός διασταυρώσεων (crossing number), ο αριθμός γεφυρών (bridge number) και ο αριθμός λύσεως (unknotting number). |
| Ο αριθμός διασταυρώσεων, ο αριθμός γεφυρών και ο αριθμός λύσεως ορίζονται στο σύνολο όλων των διαγραμμάτων ενός κόμβου. |
| Προηγούμενη Ενότητα | Επόμενη Ενότητα |