|
Η Τοπολογία Χαμηλών Διαστάσεων μελετά τρισδιάστατους χώρους (προσανατολίσιμους, συνεκτικούς και συμπαγείς, χωρίς σύνορο) πέρα από τον γνωστό Ευκλείδειο χώρο, που ονομάζονται 3-πολλαπλότητες (3-manifolds). Το πρόβλημα της ταξινόμησής τους ως προς τη σχέση του ομοιομορφισμού είναι ένα από τα μεγάλα προβλήματα των μαθηματικών (Εικασία Poincaré). Κάθε 3-πολλαπλότητα μπορεί να κατασκευαστεί από έναν (τουλάχιστον) κόμβο μέσω της "τοπολογικής χειρουργικής". Επιπλέον, δύο 3-πολλαπλότητες είναι ομοιομορφικοί χώροι αν και μόνον αν οι αντίστοιχοι κόμβοι σχετίζονται μέσω ισοτοπίας και "κινήσεων Kirby". Έτσι, μια αναλλοίωτη ισοτοπίας, αν μπορεί να γίνει αναλλοίωτη και κάτω από τις κινήσεις Kirby, δίνει μια αναλλοίωτη 3-πολλαπλότητων. Αρα, το πρόβλημα της ταξινόμησης των κόμβων σχετίζεται με το πρόβλημα της ταξινόμησης των 3-πολλαπλοτήτων.
|