| Αρχικά, για να συμβολίσουμε ένα διάγραμμα κόμβου με το συμβολισμό Dowker, πρέπει να δώσουμε στον κόμβο προσανατολισμό. Τι εννοούμε με αυτό; Ορίζουμε προσανατολισμό στον κόμβο βάζοντας ένα βέλος σε ένα σημείο του. Ακολούθως, παίρνουμε μια διασταύρωση του διαγράμματος και της δίνουμε τον αριθμό 1. Έπειτα προχωράμε κατά μήκος του κόμβου, σύμφωνα με την κατεύθυνση που έχουμε ορίσει, αλλά ακολουθώντας το από κάτω τόξο της διασταύρωσης. Στην επόμενη διασταύρωση που συναντάμε δίνουμε τον αριθμό 2. Προσέξτε ότι όταν επιστρέψουμε στο αρχικό σημείο, σε κάθε διασταύρωση θα αντιστοιχούν δύο αριθμοί, ένας περιττός και ένας άρτιος. Κατά τη διάρκεια της αντιστοίχισης των αριθμών, θεωρούμε θετικούς τους άρτιους αριθμούς που αντιστοιχούμε εάν συναντάμε τη διασταύρωση στο από πάνω της τόξο. Αντιθέτως εάν συναντάμε τη διασταύρωση στο από κάτω της τόξο, τότε θεωρούμε τον άρτιο αριθμό αρνητικό. Όλοι οι περιττοί αριθμοί θεωρούνται θετικοί όπου και αν τοποθετηθούν. Συνεχίζουμε έτσι όπως αναφέραμε πιο πάνω μέχρι να φτάσουμε στο σημείο από όπου ξεκινήσαμε. |
| Παρακάτω έχουμε ένα κόμβο, ο οποίος μπορεί να περιγραφεί με το συμβολισμό Dowker σαν ένα σύνολο από διατεταγμένες δυάδες {<1,4>, <3,-6>, <5,10>, <7,-2>, <9,8>}. Εφόσον το πρώτο μέλος κάθε δυάδας είναι περιττός και δεν περιέχει πληροφορίες για πρόσημα, μπορούμε να περιγράψουμε τον κόμβο πιο εύκολα με το συμβολισμό Dowker ως <4, -6, 10, -2, 8>. |
|
| Η όλη διαδικασία είναι και αναστρέψιμη. Εάν μας δοθεί μια ακολουθία άρτιων αριθμών, μπορούμε να κατασκευάσουμε έναν κόμβο. Όλες οι πληροφορίες που χρειαζόμαστε βρίσκονται στο συμβολισμό Dowker. Μας λέει για τον αριθμό διασταυρώσεων, πώς είναι συνδεδεμένες και ποιές είναι από πάνω και ποιές από κάτω. |
| Ας πούμε τώρα πως έχουμε μια ακολουθία από άρτιους αριθμούς η οποία αντιπροσωπεύει την προβολή ενός κόμβου. Πώς σχεδιάζουμε τη συγκεκριμένη προβολή; Ας πούμε πως έχουμε την ακολουθία 8 10 12 2 14 6 4. Αυτό όπως αναφέραμε παραπάνω είναι η συντομία του |
| 1 | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 | 13 |
| 8 | 10 | 12 | 2 | 14 | 6 | 4 |
| Εφόσον οι άρτιοι αριθμοί είναι θετικοί, ο κόμβος θα είναι εναλλασσόμενος. Ας σχεδιάσουμε αυτόν τον κόμβο. Αρχίζουμε σχεδιάζοντας την πρώτη διασταύρωση, δίνοντάς της τους αριθμούς 1 και 8. Επεκτείνουμε το τόξο του κόμβου που βρίσκεται από κάτω στη διασταύρωση και σχεδιάζουμε την επόμενη διασταύρωση η οποία αντιστοιχεί στο 2. Εφόσον το 2 είναι ζεύγος με το 7 βάζουμε στη διασταύρωση αυτή 2 και 7. Επειδή ο κόμβος είναι εναλλασσόμενος, ξέρουμε πως το τόξο στο οποίο βρισκόμαστε πάει πάνω από τη συγκεκριμένη διασταύρωση. Προεκτείνουμε το τόξο της διασταύρωσης 2 που πάει από πάνω και φτάνουμε στην επόμενη διασταύρωση, όπου το τόξο αυτό γίνεται κάτω μέρος της διασταύρωσης την οποία ονομάζουμε 3 και το οποίο είναι ζεύγος με το 10. Συνεχίζουμε με τον ίδιο τρόπο, μέχρι ο επόμενος αριθμός που θα τοποθετήσουμε έχει ζεύγος έναν αριθμό που έχει ήδη τοποθετηθεί στον κόμβο. Έτσι ξέρουμε πως ο κόμβος θα κάνει κύκλο για να περάσει από τη συγκεκριμένη διασταύρωση. Εδώ έχουμε επιλογή να πάμε είτε από αριστερά είτε από δεξιά για να κάνουμε τον κύκλο. Συνεχίζουμε κατά τον ίδιο τρόπο. Εάν κανένας από τους αριθμούς που θα αντιστοιχίσουμε στην επόμενη διασταύρωση δεν έχει ήδη δοθεί, τότε φτιάχνουμε μια νέα διασταύρωση. Εάν ένας αριθμός έχει τοποθετηθεί προηγουμένως, τότε κάνουμε κύκλο ώστε να περάσει ο κόμβος από τη συγκεκριμένη διασταύρωση. Συνεχίζοντας έτσι καταλήγουμε σε ένα διάγραμμα κόμβου, ο οποίος μας έχει δοθεί με το συμβολισμό Dowker. |
|
| Όπως αναφέραμε παραπάνω, η διαδικασία είναι αναστρέψιμη, αλλά αυτό δεν είναι πλήρως αληθές. Ο συμβολισμός Dowker δεν προσδιορίζει μονοσήμαντα τους σύνθετους κόμβους αλλά ούτε και τις κατοπτρικές εικόνες κόμβων. |
| Ο συμβολισμός Dowker, επειδή χρησιμοποιεί μια απλή ακολουθία αριθμών, οδήγησε στη χρήση υπολογιστή για το πρόβλημα της ταξινόμησης των κόμβων. Επίσης, ένα ακόμα ενδιαφέρον κομμάτι του συμβολισμού Dowker είναι το γεγονός πως από την ακολουθία των αριθμών μπορούμε να δούμε τετριμμένες διασταυρώσεις υπό τις κινήσεις Reidemeister. Η διασταύρωση <8, 9> για παραδειγμα στον πρώτο κόμβο στον οποίο αναφερόμαστε παραπάνω, μπορεί να απαλειφθεί με μια κίνηση RI. Αυτό θα ισχύει πάντοτε όταν μια διασταύρωση έχει σαν όρισμα δύο διαδοχικούς αριθμούς. |
| Προηγούμενη Ενότητα | Επόμενη Ενότητα |