ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ

Βέλτιστος Έλεγχος μη Γραμμικών Παραβολικών Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων. Θεωρία και Αριθμητική Ανάλυση. Διδακτορική Διατριβή, ΕΜΠ, 1994.

Σε αυτή τη διατριβή μελετώνται προβλήματα βέλτιστου ελέγχου συστημάτων που ορίζονται από μια τάξη μη γραμμικών (ως προς τον έλεγχο και την κατάσταση) παραβολικών μερικών διαφορικών εξισώσεων με κατανεμημένο και συνοριακό έλεγχο και με περιορισμούς στον έλεγχο και στην κατάσταση του συστήματος. Δεδομένου ότι δεν γίνεται καμία υπόθεση κυρτότητας πάνω στα δεδομένα, χρησιμοποιώ σε όλη την ανάπτυξη της θεωρίας γενικευμένους ελέγχους (relaxed controls, κατά J. Warga). Σημειωτέον ότι τέτοια μη κυρτά προβλήματα κατά κανόνα δεν έχουν κλασικές λύσεις. Στο πρώτο μέρος της διατριβής αποδεικνύω, κάτω από ασθενείς υποθέσεις, την ύπαρξη ενός βέλτιστου γενικευμένου ελέγχου για το γενικευμένο πρόβλημα, καθώς και αναγκαίες συνθήκες βελτιστότητας σε μορφή μιας γενικευμένης αρχής του ελαχίστου τύπου Pontryagin. Επειδή τα προβλήματα αυτά επιλύονται αναγκαστικά σε υπολογιστή με κάποια αριθμητική μέθοδο, στο δεύτερο μέρος ασχολούμαι με την πλήρη διακριτοποίηση του προβλήματος. Συγκεκριμένα εφαρμόζω, στο κλασικό καθώς και στο γενικευμένο πρόβλημα, μια μέθοδο πεπερασμένων στοιχείων με συνεχείς και κατά τμήματα γραμμικές συναρτήσεις ως προς τον χώρο, σε συνδυασμό με ένα ημιπεπλεγμένο σχήμα Euler ως προς τον χρόνο, προσεγγίζοντας παράλληλα τους ελέγχους με κατά τμήματα σταθερούς (κλασικούς ή γενικευμένους), και εισάγοντας διάφορες ανοχές στους περιορισμούς πάνω στην κατάσταση. Αναπτύσσεται στη συνέχεια η αντίστοιχη με τη συνεχή περίπτωση θεωρία για τα διακριτοποιημένα προβλήματα. Τέλος, εξετάζω την συμπεριφορά στο όριο ακολουθιών βέλτιστων ελέγχων και extremal αποδεκτών ελέγχων (δηλαδή ελέγχων που ικανοποιούν τις αναγκαίες συνθήκες βελτιστότητας και τους περιορισμούς). Συγκεκριμένα, αποδεικνύω ότι τα σημεία συσσώρευσης ακολουθιών βέλτιστων διακριτών, κλασικών ή γενικευμένων ελέγχων) είναι βέλτιστα (αντιστ. extremal αποδεκτά) για το συνεχές γενικευμένο πρόβλημα.